CONTOH – CONTOH SOAL OPERASI BINER

Kalian tau kan kalo operasi biner di tentukan oleh himpunan am definis soal yang di minta.Dua hal itu lah menjadi kunci untuk menyelesaikan soal tentang operasi biner ini :

1. Tentukan definisi ¤ pada suatu himpunan yang merupakan operasi biner. Jika ¤ bukan operasi biner,jelaskan kondisi yang tidak dipenuhinya.

a.       Pada Z⁺ , didefinisikan x ¤ y = x/y

b.      Pada Z⁺ , didefinisikan x ¤ y =

Jawaban:

a.       x/y merupakan operasi biner pada Z⁺

b.       bukan merupakan operasi biner pada Z⁺ , karena 1¤2= dan  tidak ada di Z⁺

2.      Lengkapi tabel untuk mendefinisikan operasi biner * yang komutatif pada S = {w,x,y,z}

Jawaban :

Dengan menggunakan sifat operasi biner komutatif dengan mudah kita dapat

melengkapi tabel di atas tersebut

kita tau sifat komutatif itu dimana : x*y = y*x

dan suatu operasi biner yang didefinisikan dengan tabel komutatif jika dan hanya jika entri pada tabel simetri terhadap diagonal yang dimulai dari pojok kiri atas ke pojok kanan atas

Kita dapat menjabarkannya seperti ini :

x*w = z dan w*x = z jadi x*w = w*x

y*w = w dan w*y = w jadi y*w = w*y

z*w = x dan w*z = x jadi z*w = z*w

dan sebagainya

3.      Tentukan apakah operasi biner berikut terdefinisi, terdefinisi dengan baik dan tertutup?

a.       Pada {1,2,3,4,5,6} didefinisikan # dengan x # y = x y +2

b.      Pada Z⁺ didefinisikan # dengan x # y adalah bilangan di Z⁺ yang lebih kecil dari x dan y.

c.       Pada bilangan genap didefinisikan # dengan x # y = x + y

d.      Pada Q didefinisikan # dengan x # y = x/ y

Jawaban :

a.       Di sini # tidak tertutup karena 3 # 4 = 14, 14 tidak ada pada himpunan S

b.      Definisi # pada operasi ini tidak terdefinisi dengan baik sebab 4 # 10 hasilnya bisa 1 atau bisa 2 dan bisa 3. Jadi di sini hasilnya tidak jelas dan lebih dari satu

c.       Disini # terdefinisi tertutup  karena 2 # 4 = 6. 6 termasuk bilangan genap

d.      Disini # tidak terdefinisi ,karena bilangan rasional 2#0 tidak terdefinisi

APROKSIMASI TERBAIK & KUADRAT TERKECIL

APROKSIMASI TERBAIK DAN KUADRAT TERKECIL

Judul bab ini merupakan salah satu judul pada buku Aljabar Linear Elementer jilid 1 edisi 8 oleh Howard Anton – Chris Rorres.

Bagian dari bab Ruang Hasilkali Dalam.

Aproksimasi terbaik dan kuadrat terkecil ini salah satu aplikasi di bidang sains. Pada bidang fisika aproksimasi terbaik dan kuadrat terkecil telah membantu kita untuk meminimalkan kesalahan kita pada saat pengukuran.

Dimana pada bagian ini akan membahas tentang :

• Proyeksi Ortogonal Dipandang sebagai Aproksimasi

Kita tahu bahwa vector – vector orthogonal yaitu vector – vector yang saling tegak lurus jika dan hanya jika u • v = 0.

Dan proyeksi ortogonal yang pernah kita pelajari sebelum ini.

Apakah kalian masih ingat?…

Teorema proyeksi

jika W adalah sebuah subruang  berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V, maka setiap vektor u di dalam V dapat dinyatakan dengan tepat satu cara sebagai

u = w₁ + w_{2                                                                       (1)}

Dimana w₁ terletak pada W dan w₂ terletak pada W.

Vektor w₁ pada teorema di atas disebut sebagai proyeksi ortogonal u pada W dan dinotasikan dengan proj_w u .Vektor w₂ disebut sebagai komponen u yang ortogonal terhadap W dan dinotasikan dengan proj_w u. Dengan demikian,Rumus (1) di dalam Teorema Proyeksi dapat dinyatakan sebagai

u = proj_w u + proj_w u                         (2)

karena w₂ = u – w₁ , kita memperoleh

proj_w u = u – proj_w u

sehingga rumus (2) juga kita dapat dituliskan sebagai

u =  proj_w u + ( u – proj_w u )                             (3)

hampir sama dengan di atas, proyeksi ortogonal yang dipandang sebagai aproksimasi sebagai berikut

Jika P adalah sebuah titik di dalam ruang berdimensi 3 biasa dan W adalah sebuah bidang yang melewati titik asal ruang tersebut, maka Q pada W yang jaraknya terdekat dengan P dapat diperoleh dengan memproyeksikan P secara tegak lurus terhadap W.

Jika u sebagai sebuah vektor tetap yang hendak kita aproksimasikan dengan menggunakan sebuah vektor pada W dan   jarak antara P dan W diberikan oleh

‖u – proj_w u ‖

Di antara semua vektor w pada W , vektor w = proj_w u meminimalkan jarak ‖u – w‖

Setiap aproksimasi w semacam ini akan menghasilkan sebuah ”vektor kesalahan”

u – w

yang tidak dapat dijadikan sama dengan 0, terkecuali jika u terletak pada W. Akan tetapi,dengan memilih

w = proj_w u

kita dapat menjadikan panjang vektor kesalahan

‖u – w‖ = ‖u – proj_w u ‖

sekecil mungkin. Sehingga, kita dapat mendeskripsikan proj_w u sebagai ”aproksimasi terbaik”

• Solusi Kuadrat Terkecil dari Sistem Linear

Kelajutan dari aproksimasi terbaik muncullah solusi kuadrat terkecil.

Di mana kita umpamakanlah bahwa e = Ax – b yang dapat dipandang sebagai vektor kesalahan yang dihasilkan oleh aproksimasi terhadap x. Jika e = (e₁, e₂, …….,e_m), maka sebuah solusi kuadrat terkecil akan meminimalkan,dan oleh karenanya juga meminimalkan sehingga dari sinilah istilah kuadrat terkecil muncul.

Untuk menyelesaikan permasalahan kuadrat terkecil, misalkan W adalah ruang kolom dari A.Untuk setiap matriks x, n×1, hasilkali Ax adalah sebuah kombinasi linear dari vektor – vektor kolom dari A.

Berdasarkan Teorema Aproksimasi Terbaik bahwa vektor terdekat dari b di dalam W adalah proyeksi ortogonal b pada W. Sehingga, agar sebuah vektor x dapat menjadi solusi kuadrat terkecil dari Ax =b vektor ini harus memenuhi

Ax = proj_w b                                                    (4)

Dari teorema proyeksi dan rumus (3) kita mengetahu bahwa

b – Ax = b – proj_w b

ortogonal terhadap W. Namun W adalah ruang kolom A, sehingga dari teorema (kaitan geometrik antara ruang nul dengan ruang basis, b – Ax terletak pada ruang nul dari matriks A^T . Oleh karena itu, sebuah solusi kuadrat terkecil dari Ax = b harus memenuhi

A^T (b – Ax) = 0

Atau secara ekuivalen,

A^T Ax = A^T b (5)

System persamaan ini disebut sebagai system normal yang di asosiasikan dengan Ax = b dan tiap – tiap persamaan di dalam system ini disebut persamaan normal yang diasosiasikan dengan Ax = b. Sehingga, permasalahan penentuan solusi kuadrat terkecil dari Ax = b dapat disederhanakan menjadi permasalahan penentuan solusi eksak dari normal yang terkait.

Rumus (4) kita dapat menurunkan teorema:

Untuk sistem linear sebarang Ax = b, sistem normal yang terkait

A^T Ax = A^T b

Bersifat konsisten dan semua solusi dari sisitem normal adalah solusi kuadrat terkecil dari Ax = b. Selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, dan x adalah solusi kuadrat terkecil sebarang dari Ax = b, maka proyeksi ortogonal b pada W adalah

proj_w b = Ax

• Keunikan Solusi Kuadrat Terkecil

Syarat – syarat yang menjamin suatu sistem linear memiliki sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik yaitu pada teorema berikut

Dimana jika A adalah sebuah matriks m × n, maka pernyataan – pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.

a)      A memiliki vektor – vektor kolom yang bebas linear

b)      A^TA dapat dibalik

Setelah syarat – syarat di atas terpenuhi,

Jika A adalah sebuah matriks m × n yang memiliki vektor – vektor kolom yang bebas linear, maka untuk setiap matriks b, m × 1, sistem linear Ax = b memiliki sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik. Solusi ini diberikan oleh

x = (A^TA)^-1A^Tb                                   (6)

selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, maka proyeksi ortogonal b pada W adalah

proj_w b = Ax = A(A^TA)^-1A^Tb              (7)

Konsep sebuah operator proyeksi orthogonal dapat diperluas hingga mencakup ruang Euclidean yang berdimensi lebih tinggi, sebagai mana yang di perlihatkan berikut ini

Jika W adalah sebuah subruang dari R^m , maka trasformasi P: R^m → W yang memetakan setiap vector x pada R^m menjadi proyeksi ortogonalnya proj_w x pada W disebut sebagai proyeksi orthogonal R^m pada W.

Agar lebih mengerti tentang konsep yang telah dijabarkan di atas saya tunjukkan dengan contoh soal:

1. Tentukan system normal yang terkait dengan system linear berikut:

Penyelesaiannya:

Di sini

dan

A memiliki vektor – vektor kolom yang bebas linear, sehingga dapat mengetahui bahwa terdapat sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik bagi sistem ini.Kita memperoleh

Sehingga sistem normal A^TAx = A^Tb dalam kasus ini adalah

2.Tentukan solusi kuadrat terkecil dari sistem linear Ax = b dan tentukan proyeksi ortogonal b pada ruang kolom matriks A

dan

Penyelesaiannya:

Di sini

dan    

A memiliki vektor – vektor kolom yang bebas linear, sehingga dapat mengetahui bahwa terdapat sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik bagi sistem ini.Kita memperoleh

Sehingga sistem normal A^TAx = A^Tb dalam kasus ini adalah

Dengan menyelesaikan sistem(dapat menggunakan eliminasi auss atau eliminasi Gauss-jordan) ini kita akan memperoleh solusi kuadrat terkecil

x₁ = 5               x₂ =1/2

proyeksi ortogonal b pada ruang kolom dari A adalah

3. Tentukan proyeksi ortogonal u pada subruang dari R³ yang direntang oleh vektor – vektor v₁ dan v₂

u  = ( 1 ,-6 ,1 )

v₁ = ( -1, 2, 1 )

v₂ = ( 2, 2, 4 )

Penyelesaiannya :

Kita dapat menyelesaikan soal ini dengan terlebih dahulu menggunakan proses Gram – schmidt untuk mengkonversikan { v₁ , v₂ } menjadi sebuah basis ortonormal.Akan tetapi, metode berikut ini lebih efisien digunakan.

Subruang W dari R3 yang direntang oleh v₁ , v₂ adalah ruang kolom dari matriks

Dengan demikian, jika u dinyatakan sebagai sebuah vektor kolom, kita dapat menentukan proyeksi ortogonal u pada W dengan cara menentukan sebuah solusi kuadrat terkecil dari sistem Ax = u dan kemudian menghitung proj_wu = Ax dari solusi kuadrat terkecil yang telah didapatkan.Perhitungannya adalah sebagai berikut:

Sistem Ax = u adalah

Sehingga

Sistem normal A^TAx = A^Tu dalam kasus ini adalah

Dengan menyelesaikan sistem ini akan menghasilkan solusi kuadrat terkecil dari Ax = u

sehingga

sekian tentang aproksimasi terbaik dan kuadrat terkecil,..

jika ada salah atau kurang mohon di maklumkan,..

kritik dan saran qu tunggu

cara mudah menggunakan mapel9.5

Setelah kalian menginstal program maple 9.5 ini,

Langkah awal menggunakan maple 9.5 ini….

Double klik ikon di desktop,

Setelah itu muncul seperti di bawah ini…

Selanjutnya kalian dapat mencari integral fungsi dengan mengklik expression integral,

Selanjutnya muncul tampilan seperti di bawah ini..

Masukan persamaan fungsi integral yang kalian ingin ketahui,

Tinggal klik enter,maka akan muncul hasilnya seperti ini,

Nah,sekarang kalian dapat mencoba program ini…

Integral yang awalnya sulit jadi mudahkan??……..

Selain dapat menujukkan nilai suatu fungsi maple 9.5 ini dapat menujukan kalian grafik fungsi tersebut..

Ini tahu caranya??

Langkah awal hampir sama dengan yang diatas tadi,hingga dilayar muncul seperti ini..

Selanjutnya klik tools pada toolbar,pilih tutors,lalu precalculus,dan pilih limits..

Munculah seperti ini,

Tinggal kalian ganti fungsi f(x) yang akan di tampilkan grafiknya pada tempat yang ditandai di atas..

Klik display,lalu klik close,sehingga munculah tampilan layar seperti ini,

Mmm,jadi dech grafiknya,,

Kalian gak perlu sulit-sulit untuk menggambar grafik fungsi lagi kan………..

Dosen FMIPA Unram,..

Marwan, MSi…

Semua mahasiswa gamatika pasti tidak asing am nama ni, Pak Marwan, MSi adalah salah satu dosen matematika di FMIPA Universitas Mataram.

Pak Marwan lahir di Seteluk,KSB 5 Oktober 1977.

Beliau mempunyai hobi maen gitar dan maen catur…

Makanan favoritnya adalah makanan tradisional yaitu sepat (dari Sumbawa).

Buku-buku yang menginspirasi beliau antara lain novel The Woman karya Paul.W , Laskar Pelangi, Saman karya Ayu Utami serta novel yang berisi perjuangan hidup.

Hal yang tidak di sukai beliau adalah tidak suka DIBOHONGI,.

Dan hal yang ingin dicapai yaitu pengen S3 karena matematika daerah kita perlu perkembangan.

Pak Marwan telah berkeluarga,yang mana beliau mempunyai satu istri yang katanya masih ada hubungan keluarga dan beliau dikaruniai satu anak cewek bernama Lala lahir taon 2001.

Jenjang pendidikan yang di tempuh.Beliau sekolah di SDN 1 Seteluk, SMPN Seteluk sekarang menjadi SMP 1, SMAN Ampenan sekarang SMAN 2 Mataram.

Prestasi SMA yang pernah diperoleh yaitu beliau mendapat juara IV IMO tingkat kabupaten Lobar (Lombok Barat).

Pak Marwan mengambil S1 Matematika di UGM tahun 1991 dan tamat tahun 1996.Tahun 1997-1998 menganggur 2 tahun, beliau mencoba daftar ke PT. Astra namun gagal pada tes wawancara.Lalu daftar menjadi dosen STT Telkom tahun 1997 dan gagal lagi.Setelah itu beliau mencari-cari informasi penerimaan dosen di koran

Dan akhirnya beliau melanjutkan S2 tahun 1998-2001 di UGM.Setahun sebelum lulus S2 beliau menikah di Sumbawa, yang masih berstatus CPNS. Setelah lulus tahun 2001 beliau balik ke Mataram dan mengajar di fakultas teknikj sipil saat itu belum ada FMIPA.Beliau mengajar bersama Pak Amrullah dan Pak Samsul serta buk Embun.Tahun 2002/2003 beliau mengajar di biologi FMIPA dan tahun 2006 barulah lahir FMIPA Matematika.

FUTSAL GAMATIKA TURNAMEN 2010

FUTSAL GAMATIKA TURNAMEN 2010

Futsal Gamatika turnamen  2010 suatu hal yang sangat membahagiakan  bagi Gamatika, karena 3 tim yang turun dalam pertandingan dan sekaligus menjadi  tuan rumah bisa masuk final yaitu (Arema 09, Predator, dan  Math Addict) dengan menempati juara 1, 2, 3.

Partai final futsal gamatika turnamen 2010 meloloskan dua tim yang sangat tanguh yaitu Predator vs math addict untuk merebutkan juara utama. Math addict lolos keputaran final setelah berjuang keras mengalahkan adiknya yaitu Arema 09 melalui adu pinalti karena pengalaman sang kakak memenangkan pertandingan dengan skor 2-1 melalui adu pinalti karana hasil hakhirnya imbang dengan skor seri 5-5. sementara tim penantang yaitu Predator dengan mudah mengalah kan Bingung fc dengan skor yang sangat meyakinkan 4-2.

Berkuasanya sang tuan rumah

Didalam futsal gamatika turnamen 2010 bisa dibilang kekuwasaan tuan rumah karena  tiga tim gamatika bisa masuk final . karena mereka menjadi tuan rumah mereka mengerahkan semua tenaga untuk menjadi yang terbaik dan tidak ingin dipermalukan dengan tim lain. Bukan karena itu saja karena menjadi tuan rumah 3 tim gamatika yaitu (arema 09, predator, dan math addits) memiliki seporter yang lumayan banyak yang memberi semangat secara terus menerus. Sehinga 3 tim tuan rumah bermain dengan semangat dan mendapatkan kemenangan.

Final yang direbutkan 2 tim tuan rumah

Final ini bisa di sebut pertempuran antara 2 tim tuan rumah. Karena kedua tim adalah finalis dari gamatika yaitu Predator vs Math addits. Pertandingan yang d lakukan di Udayana  Futsal Center pda siang itu di penuhi oleh penonton walaupun sedang hujan tapi tidak mengurangi minat penonton untuk menyemagati tim kesayangannya.

Dari babak pertama dimulai sudah kelihatan semangat dari dua tim yang saling serang untuk merebut kemenangan . tetapi tim predator bisa mengatasi situasi dan mengambil alih pertandingan dengan mencetak 2 gol yang dicetak oleh boris. Dengan 2 gol semangat pun timbul di dalam kubu math addits dan mereka pun memperkecil keadaan dengan mencetak satu gol lewat tandukan Yudi.

Di babak ke-2 pertandingan semakin seru dengan permainan menawan dari tim Predator yang mencetak 2 gol kembali..Akhir predator menutup kemenanganya dengan skor meyakinkan yaitu 4-1.

STATISTIKA

STATISTIKA

UKURAN TERDENSI SENTRAL (UKURAN PEMUSATAN)

Untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas mengenai data yang disajikan, disamping pembuatan table dan diagram masih diperlukan pula ukuran-ukuran yang dapat mewakili  data agar mudah untuk penganalisaan data selanjutnya.

›    Rataan Hitung (Mean)

Rataan hitungan (mean) ada dua keadaan,yaitu data tunggal dan data berkelompok.

• Menentukan rataan hitungan dari data tunggal

Kondisi1

Nilai rataan hitung dari data : x₁ ,x₂, x₃, ….., x_n didefinisikan sebagai :

dengan:

=rataan hitung (mean)

n = banyak data

x = wakil dari data

∑  =  jumlah (dibaca “sigma”)

Kondisi 2

Apabila bilangan-bilangan : x₁ ,x₂, x₃, ….., x_n masing-masing mempunyai frekuensi : f₁, f₂, f₃, …., f_n dengan Σf = n, maka rataan hitung ditentukan oleh formula :

Atau

Kondisi 3

Jika f1 bilangan yang mempunyai rataan hitung m₁, f₂ bilangan yang mempunyai rataan hitung m₂, …., dan f_n bilangan yang mempunyai rataan hitung mn, maka rataan hitung dari keseluruhan bilangan itu, yaitu (f₁ + f₂ + ….+f_n) bilangan, ditentukan oleh formula :

• Menentukan rataan hitungan dari data berkelompok

Khusus menentukan rataan hitung dari data berkelompok dikenal 3metode yang lazim digunakan

Metode biasa

Apabila telah terbentuk distribusi frekuensi biasa dengan f₁ = frekuensi pada interval kelas ke-i dan x₁ = nilai tengah interval kelas ke-i, maka rataan hitung  ditentukan oleh formula :

Formula untuk menentukan nilai tengah :

dengan :

l₁ = batas atas kelas

l₂ = batas bawah kelas

metode simpangan rata-rata (median deviasi)

Jika A merupakan rataan hitung sementara yang diperoleh dari  

dengan x1 adalah batas bawah kelas pertama dan xn adalah batas atas kelas terakhir dalam distribusi frekuensi, maka rataan hitung dari table distribusi frekuensi ditentukan oleh formula :

Dengan :

d=x – A (d sering disebut deviasi)

x = nilai tengah interval kelas

f = frekuensi kelas

Metode coding (step-deviasi)

Apabila rataan hitung sementara  

dan simpangan (deviasi) d = x – A pada metode deviasi, maka d dapat dituliskan c . u dengan c adalah panjang kelas dan u = 0, ±1, ±2,….. karena d = c . u, maka rataan hitungnya ditentukan oleh formula :

›    Rataan Geometris (G)

Rataan geometris G dari sekumpulan data x₁ ,x₂, ….., x_n ditentukan oleh formula:

Dalam praktek, rataan geometris G sering ditentukan oleh          :

Apabila bilangan-bilangan : x₁ ,x₂, ….., x_n masing-masing mempunyai frekuensi f₁, f₂, f₃, …., f_{n ,} Maka rataan geometris ditentukan oleh formula          :

Atau

›    Rataan Harmonis (H)

Rataan harmonis (H) dari n buah bilangan x₁ ,x₂, ….., x_n ditentukan oleh formula:

Atau

Hubungan antara rataan hitung , rataan geometris (G), dan rattan harmonis (H) ditunjukkan oleh :

›    Rataan kuadratis (k)

Rataan kuadratis dari sekumpulan bilangan x₁ ,x₂, ….., x_n ditentukan oleh:

Jenis rataan ini sering digunakan dalam aplikasi fisika

›    Modus (Datum Sering Muncul)

Modus adalah datum yang sering muncul atau datum dengan frekuensi terbesar pada sekumpulan data tunggal.

Modus untuk data berkelompok, ditentukan oleh formula berikut ini :

Dengan :

= tepi bawah kelas modus

= modus

c  = panjang kelas

= frekuensi kelas modus

=frekuensi kelas sebelum kelas modus

=frekuensi kelas sesudah kelas modus

›    Median dan kuartil-kuartil pada Tabel Distribusi

Median data tunggal dari statistic peringkat : x₁ ,x₂, ….., x_n dengan x₁ <x₂ < …..<x_n adalah nilai tengah apabila banyak data ganjil, atau rataan dua nilai tengah apabila banyak data genap

; n ganjil

; n genap

median dan kuartil-kuartil dari data berkelompok (pata table distribusi frekuensi).Penentuan median,kuartil bawah, dan kuartil atas pada distribusi frekuensi dapat dilakukan melalui formula berikut ini :

; i = 1, 2, 3

Dengan :

= tepi bawah kelas kuartil ke- i ( i = 1, 2, 3)

c  = panjang kelas

= jumlah frekuensi sebelum kuartil ke- i

= frekuensi kuartil ke- i

n  = jumlah semua frekuensi

›    Desil

Desil dalah kumpulan datum dalam bentuk statistic peringkat yang dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama

Untuk data tunggal ( data yang belum dikelompokkan)

Penentuan letak desil dapat dilakukan apabila kumulan datum telah berbentuk statistic peringatan dan letaknya ditentukan oleh formula berikut ini :

Letak desil ke- i =

Dengan i = 1, 2, …., 9 dan n = banyak data (n > 10)

Penentuan nilai desil bergantung pada

, yaitu

Bilangan asli → nilai desil =

Bukan bilangan asli (pecahan), penentuan nilai desil dilakukan dengan pendekatan interpolasi linear

Untuk data berkelompok (data dalam bentuk distribusi)

Penentuan nilai desil ke- i dari data berkelompok dapat dilakukan dengan menggunakan formula berikut ini :

; i = 1, 2, 3, 4, 5,….., 9

Dengan

= desil ke- i

c      = panjang kelas

= tepi bawah kelas desil ke- i

n   = banyak data

= frekuensi desil ke- i

i = letak desil ke- i

= jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke- i

›    Ukuran penyebaran (Ukuran Dispersi)

Ukuran penyebaran meliputi:

• Jangkauan/range/rentangan data (J)

didefinisikan sebagai selisih antara datum terbesar ( statistic maksimum) dengan datum terkecil (statistic minimum)

Atau

Koefisien jangkauan =

• Jangkauan antarkuartil/hamparan (H)

Adalah selisih antara kuartil atas  dengan kuartil bawah

• Jangkauan semi antarkuartil/simpangan kuartil

Didefinisikan sebagai setengah kali panjang

• Rataan simpangan (mean deviasi)

Kondisi 1

Rataan simpangan (MD) dari sekumpulan n bilangan : x₁ ,x₂, x₃, ….., x_n ditentukan oleh formula:

Dengan :

= rataan hitung

= datum ke-i

n = banyak data

Kondisi 2

Apabila data berupa bilangan-bilangan : x₁ ,x₂,….., x_n dengan ffrekuensi masing-masing f₁ ,f₂, ….., f_n ,maka rataan simpangan ditentukan oleh formula :

Dengan:

= rataan hitung

= datum ke-i

n = banyak data

= frekuensi dari datum ke-i

• Simpangan baku (deviasi standar)

Kondisi 1

Simpangan baku dari sekumpulan bilangan x₁ ,x₂,….., x_n ditentukan oleh formula :

Kondisi 2

Apabila data berupa bilangan-bilangan : x₁ ,x₂,….., x_n dengan ffrekuensi masing-masing f₁ ,f₂, ….., f_n ,maka simpangan baku (S) ditentukan oleh formula :

Ketua Gamatika……..,

mmmm,

ketua gamatika yang lain adalah kak Eko,yang memiliki nama lengkap Eko Surya Gunawan.

Kak Eko lahir di Wanasaba,29 September 1987.Hobinya maen bola dan tidur…..

Kak Eko seneng banget am musik yang beraliran pop, rock, am dangdut….

Motto hidupnya “Lakukan yang terbaik”…..

Saat kita tanya pa cita-citanya.kak Eko bilang ‘MAsih diujung pena’.MAksudnya???Kalian bisa rangnya sendiri to gk kunjungin blog nya…di………………..

Kesan menjadi ketua gamatika menurut kakak yang hobinya tidur ini,’Menjadi ketua gamatika membuat kita mempunyai banyak pengalaman serta banyak teman’

Dosen matematika pujaan kak Eko adalah Pak Marwan am Pak Samsul,alasannya sih suka banget am gaya mengajar kedua dosen kita ne….,

ini juga adalah ketua gamatika kita.Namanya Fadli Rahman,akrab di panggil Fadli.

Kak Fadli lahir di Gunung Sari pada tanggal 31 Desaember 1987.Ia tinggal bersama kedua orang tuanya di jalan raya tanjung,belencong gunung sari…

Kak Fadli ini hobi banget am permainan futsal dan juga denger musik…pi katanya ia suka denger musik yang sesuai dengan suasana hatinya.

Motto hidupnya “Sebaik-baiknya orang jadilah orang yang bermanfaat buat orang lain”

Dosen yang paling berkasan buat kak Fadli adalah pak Adit dan buq Mustika.Alasannya….pak Adit merupakan dosen yang paling gaul…Lo am buq Mustika,orangnya seneng nasehatin dan memberi pengarahan.

Cita-cita kak Fadli sama am motto hidupnya….mmmm,mulia banget dech…

Kriteria ketua gamatika yang akan di cari menrut kak Fadli,orangnya harus supel,mempunyai rasa tanggung jawab yang besar,harus punya banyak uang dan orangnya gak pelit……….

Yang merasa masuk dalam kriteria kak Fadli calon in diri aja…..Lumayan kan sapa tau kepilih….heheheee

ini adalah salah satu ketua gamatika periode 2009-2010 universitas mataram.Namanya Budiman Firmansyah yang akrab di panggil kak Boe….

Kak Boe lahir di mataram pada tanggal 4 April 1989.Dia tinggal di Lombok,jalan karang mas-mas RT04 kelurahan monjok barat mataram.

Kak boe merupakan anak pertama.Ia menyukai warna item dan putih alasannya karena………….

Kak Boe mempunyai hobi membaca buku tapi buku berbau islami bukan novel dan ia juga suka bermain PS…

kak Boe seneng banget lo denger lagu religi,punk  n dangdut…..katanya kak boe ngefans am Roma Irama,heheheee kayaknya kak Boe calon ustad ne pa malah entar jadi penyanyi dangdut terkenal……he,kita lihat entar aja ya….

Pi satu cita-cita kak Boe yaitu ia pengen kerja dulu baru nikah…hmmm,katanya calonnya dah banyak looo…..,mmmm,sapa ya??….

Motto hidup kak Boe yaitu “Memprioritaskan apa yang harus diprioritaskan”…

Hmmm,tw gk? ternyata kak Boe pernah diomeli lo am pak Sam gara-gara IP nya anjlok…duch,kasian banget kan……

Menurut kak Boe pak Adit adalah dosen yang paling friendly yang ada di fMIPA matematika……mmm,bener-bener.,mua sepakat tuch ama pendapat kak Boe..

Kesan menjadi ketua gamatika sulit-sulit gampang tergantung niat katanya..hehee

Alam……..

Hujan

Hujan datang dari awan di langit, tetapi air yang ada di awan itu berasal dari bumi.

Hal tersebut terjadi karena….

Matahari bersinar di atas laut, sungai,gletser dan danau.Sinar matahari itu memanaskan air sehingga ada bagian air yang menguap dan naik ke udara.Semua itu terjadi tanpa kita ketahui.

Jika uap air bertemu dengan udara dingin di ketinggian,terbentuklah awan hujan dan mendung.awan terdiri atas titik-titik air yang tidak terhitung banyaknya

Petir dan Guntur

Cuaca buruk selalu ditandai dengan adanya awan yang tebal dan hitam.Didalam awan itu udara naik dan titik air berputar dengan keras sehingga saling menabrak dan menimbulkan listrik.Lalu, berpendaranlah bunga api di ketinggian lebih dari seratus meter dan menerangi langit.

Petir yang membara itu menyembur di udara,kemudian diikuti bunyi guntur.Petir dapat dilihat jauh sebelum terdengarnya guntur karena kecepatan cahaya jauh di atas kecepatan bunyi.

es dan salju

awan terdiri dari butiran air yang sangat kecil.Butiran yang membeku berubah menjadi kristal es.Kristal ini bergerak di dalam awan.Kristal es saling bertubrukan dan saling melekat .kemudian kristal es menjadi cukup besar dan berat,lalu jatuh dari awan.Jika suhunya dibawah suhu beku,kristal ini akan turun sebagai kepingan salju.

kepingan salju yang jatuh ke bumi akan bertumpuk dan menutup permukaan bumi.

awal terbentuknya:

air bergerak seputar bumi dalam satu siklus yang tak pernah putus.Air menguap dari permukaan samudra berasal dari sungai.Diudara air berubah menjadi gas tak terlihat yang disebut uap air.Udara naik dan menjadi butiran air.Beginilah terbentunya awan.Ketika udara sangat dingin.Butiran air diawan membeku dan turun sebagai salju.

semua kepingan salju memiliki enam sisi,tapi pola yang mereka bentuk berbeda-beda.

cuaca yang sangat dingin dapat membekukan permukaan bumi.Pipa-pipa air harus di bungkus dengan kain agar air didalamnya tidak membeku.Air dapat membeku didalam pipa dan menyebaabkan ppipa itu pecah.Air  akan meluap kemana-mana ketika es mencair.

salju dan es dapat mengkikis satau mengubah bentuk bebatuan.Membeku dan mencairnya es dapat menyebabkan bebatuan retak datau pecah.

Dunia bersalju…………..

Selain bumi ini disebut “planet laut” karena hampir ¾ permukaan planet kita ini adalah samudera, di kedua ujung bumi ini juga terdapat kutup utara dan kutup selatan.

Daerah kutup utara disebut Artik yang mana daerah ini terdiri dari laut yang membeku, sedangkan daerah kutup selatan disebut Antarkita, daerah ini merupakan daerah terdingin didunia hampir seluruh daratan tertutup es.Salju dan es di sini lebih tebal dari tempat manapun di bumi.

Mari kita intip apa salju dan es itu?…………………..

Awan terdiri dari butiran air yang sangat kecil.Butiran yang membeku berubah menjadi kristal es Kristal ini yang bergerak di dalam awan.Kristal es saling bertubrukan dan saling melekat.Kemudian Kristal es menjadi cukup besar dan berat, lalu jatuh dari awan.Jika suhunya di bawah suhu beku, kristal ini turun sebagai kepingan salju.

Kepingan salju yang jatuh ke bumi akan bertumpuk dan menutupi permukaan bumi.

Dengan kata lain salju adalah hujan beku yang berasal dari air yang menguap dan naik ke atas.Semua kepingan salju memiliki enam sisi,tapi pola yang mereka bentuk berbeda-beda.

Salju dan es dapat mengikis atau mengubah bentuk bebatuan.Membeku dan mencairnya es dapat menyebabkan batuan retak atau pecah.

Tumbuhan salju dan es……apa ya?

Tumbuhan jarum        : memiliki cabang- cabang yang dapat melengkung untuk mencegah agar tidak patah dibawah salju yang berat

Edelweiss                  :tumbuh di pegunungan.Tumbuhan ini tertutup bulu-bulu halus

Crocus                      : tumbuh diawal musim semi ketika ada salju ditanah.mereka menembus salju untuk berbunga.

Bearberry                  :adalah sejenis tanaman yang tumbuh di Artik.Tanaman ini kecil dan tumbuh berkelompok.

Hewan salju dan es……..

Pinguin                      :memiliki lapisan yang tebal dibadannya agar tetap hangat.Anak penguin berlindung dengan cara bersembunyi diantara tubuh dan kaki induknya.

Beruang kutup           :mempunyai kulit berbulu tebal dan bantalan berbulu yang besar di telapak kakinya

Musang artik dan terwelu          :salju berubah menjadi putih di musim dingin.Warna ini membantu mereka untuk bersembunyi di salju

Pentingnya menggosok gigi

Bangun tidur ku terus mandi
Tidak lupa menggosok gigi
Habis mandi ku tolong ibu
Membersihkan tempat tidur ku

Lirik lagu di atas mungkin sangat familiar bagi kita di masa kanak-kanak. Di balik  lirik syairnya yang sederhana dan mudah dihafal ternyata ada penjelasan ilmiah yang perlu kita perhatikan. Lirik kedua “tidak lupa menggosok gigi” mengingatkan kita bagaimana pentingnya menggosok gigi. Bahkan Ikatan Dokter Gigi Indonesia (IDGI) menyarankan untuk menggosok gigi sekurang-kurangnya dua kali sekali. Ada apakah gerangan? Berikut  adalah penjelasan sederhana kenapa kita mesti menggosok gigi.